$x = \sqrt{-1}$ হলে ${\tan }^{-1}\left(x^4\right)$ এর মান কোনটি?

\( \sin^{-1}(x) \), \( \cos^{-1}(x) \), এবং \( \tan^{-1}(x) \) এর সংজ্ঞা:

এগুলি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (Inverse Trigonometric Functions), যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত হিসেবে কাজ করে। এই ফাংশনগুলির মাধ্যমে আমরা একটি নির্দিষ্ট ত্রিকোণমিতিক মান (যেমন, সাইন, কসমাইন, ট্যানজেন্ট) থেকে তার সংশ্লিষ্ট কোণ বের করতে পারি। নিচে প্রতিটি ফাংশনের সংজ্ঞা দেওয়া হলো:

1. \( \sin^{-1}(x) \) বা \( \arcsin(x) \):

• সংজ্ঞা: \( \sin^{-1}(x) \) বা \( \arcsin(x) \) হল সেই কোণ \( \theta \), যার সাইন মান \( x \) (যে \( x \)-এর মান \(-1 \leq x \leq 1\) এর মধ্যে থাকে)।

  অর্থাৎ, যদি \( \sin(\theta) = x \), তাহলে \( \theta = \sin^{-1}(x) \)।

• পরিসর (Range): \( -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \) (বা \( -90^\circ \leq \theta \leq 90^\circ \))।
• ডোমেইন (Domain): \( -1 \leq x \leq 1 \)।

2. \( \cos^{-1}(x) \) বা \( \arccos(x) \):

• সংজ্ঞা: \( \cos^{-1}(x) \) বা \( \arccos(x) \) হল সেই কোণ \( \theta \), যার কসমাইন মান \( x \) (যে \( x \)-এর মান \(-1 \leq x \leq 1\) এর মধ্যে থাকে)।

  অর্থাৎ, যদি \( \cos(\theta) = x \), তাহলে \( \theta = \cos^{-1}(x) \)।

• পরিসর (Range): \( 0 \leq \theta \leq \pi \) (বা \( 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ \))।
• ডোমেইন (Domain): \( -1 \leq x \leq 1 \)।

3. \( \tan^{-1}(x) \) বা \( \arctan(x) \):

• সংজ্ঞা: \( \tan^{-1}(x) \) বা \( \arctan(x) \) হল সেই কোণ \( \theta \), যার ট্যানজেন্ট মান \( x \) (যে \( x \)-এর মান \( -\infty \leq x \leq \infty \) এর মধ্যে থাকে)।

  অর্থাৎ, যদি \( \tan(\theta) = x \), তাহলে \( \theta = \tan^{-1}(x) \)।

• পরিসর (Range): \( -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \) (বা \( -90^\circ \leq \theta \leq 90^\circ \))।
• ডোমেইন (Domain): \( -\infty \leq x \leq \infty \)।

সংক্ষেপে:

• \( \sin^{-1}(x) \): এটি একটি কোণ \( \theta \) নির্ধারণ করে, যার সাইন \( x \) সমান থাকে। \( x \)-এর মান \(-1\) থেকে \(1\) এর মধ্যে থাকতে হবে।
• \( \cos^{-1}(x) \): এটি একটি কোণ \( \theta \) নির্ধারণ করে, যার কসমাইন \( x \) সমান থাকে। \( x \)-এর মান \(-1\) থেকে \(1\) এর মধ্যে থাকতে হবে।
• \( \tan^{-1}(x) \): এটি একটি কোণ \( \theta \) নির্ধারণ করে, যার ট্যানজেন্ট \( x \) সমান থাকে। \( x \)-এর মান সকল বাস্তব সংখ্যার মধ্যে থাকতে পারে।

এই ফাংশনগুলির মাধ্যমে আমরা ত্রিকোণমিতিক মান থেকে সংশ্লিষ্ট কোণ বের করতে পারি এবং এগুলি সাধারণত গাণিতিক সমস্যার সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।